Luigi Ambrosio

Italie

Prix Balzan 2019 pour théorie des équations aux dérivées partielles

Luigi Ambrosio est un mathématicien remarquable dont la capacité de synthèse impressionnante a permis de jeter des ponts insoupçonnés entre les Équations aux dérivées partielles et le Calcul des variations. Son influence sur l’analyse des espaces très généraux est exceptionnelle.

   Luigi Ambrosio est un mathématicien remarquable auquel on doit d’importantes contributions sur les équations aux dérivées partielles et le calcul des variations.
   Né en Italie en 1963, il est depuis 1998 professeur à la Scuola Normale Superiore de Pise qu’il dirige depuis 2019, après avoir enseigné à l’Université de Rome Tor Vergata, puis à Bénévent et Pavie. Il a déjà reçu un grand nombre de prix parmi lesquels le prix de l’Union mathématique italienne et le prix Fermat. Il a été invité pour une conférence plénière au Congrès international des mathématiciens, ainsi qu’au congrès européen. Il est membre de l’Accademia dei Lincei.
   Les équations aux dérivées partielles concernent la dynamique de quantités qui dépendent de plusieurs paramètres, qui sont le plus souvent le temps et la position. Les exemples abondent ; il peut s’agir d’une corde qui vibre, d’une onde électromagnétique qui se déplace, de l’écoulement d’un fluide, ou plus généralement de tout objet en mouvement.
   Le calcul des variations cherche à décrire des courbes ou des surfaces qui minimisent une certaine quantité. Par exemple, quelle surface s’appuyant sur un contour a une aire minimale ? Ces « surfaces minimales » sont analogues aux bulles de savon. Quelle forme faut-il donner à une aile d’avion pour minimiser la résistance de l’air ? On peut aussi chercher à guider un grand nombre de voitures à l’intérieur d’une ville pour minimiser les embouteillages.
   La capacité de synthèse impressionnante de Luigi Ambrosio lui a permis de jeter des ponts insoupçonnés entre ces deux chapitres importants des mathématiques.
Ses découvertes portent sur les équations de transport et les lois de conservation, sur le transport optimal, sur les équations d’évolution en géométrie, et sur l’analyse dans les espaces métriques. Historiquement on cherchait des solutions très régulières, ne présentant aucune singularité, ce qui ne correspond malheureusement pas à l’expérience commune. Depuis quelques décennies, en particulier grâce à Ambrosio, de nouvelles méthodes permettent de trouver des solutions irrégulières. Cela implique de renouveler en profondeur le vénérable calcul infinitésimal.
   Luigi Ambrosio a introduit des espaces mathématiques fonctionnels qui lui permettent de faire de l’analyse avec de très faibles conditions de régularité. Par exemple, il a étendu la théorie des courants (qui datait des années 60) pour montrer l’existence de surfaces minimales non plus dans un espace euclidien, comme c’était le cas auparavant, mais dans une géométrie quelconque. Ce résultat fut une surprise générale dans la communauté étudiant la théorie géométrique de la mesure.
   On peut aussi mentionner son travail sur la courbure des espaces métriques mesurés et sur les flots de gradients dans ces espaces qui sont a priori très peu réguliers.
   Le problème du transport optimal, qui remonte à Gaspard Monge en 1781, consiste à déplacer une distribution de masses vers une autre de la manière la plus efficace possible. L’histoire de ce problème est longue et complexe, mais les travaux de Luigi Ambrosio ont été à la base de preuves définitives de l’existence de solutions, dans la situation précise décrite par Monge.
   Luigi Ambrosio n’est pas seulement connu pour ses découvertes mathématiques. C’est un maître exceptionnel qui a fondé une école de pensée et qui a formé un grand nombre d’étudiants qui constituent aujourd’hui une véritable communauté de jeunes mathématiciens travaillant dans des universités prestigieuses, partout dans le monde.